Теория групп в физике твердого тела

Программу составил профессор, д.ф.-м.н. С.Н.Молотков

Аннотация
В курсе рассматриваются широкий круг проблем симметрии в физике конденсированного состояния методами теории групп (симметрия квантовых систем, кристаллографические аспекты симметрии, симметрия различных физических свойств и пр.) Цель курса дать основные сведения по теории представлений конечномерных групп , а также научить их примению для классификации электронных и фононных состояний в конденсированных средах.

ПРОГРАММА КУРСА

1. Определение группы. Примеры групп. Изоморфизм. Подгруппы. Прямое произведение групп. Сопряженные элементы и классы. Примеры классов. Классы произведения групп. Теорема о перечислении групп.

2. Линейные векторные пространства. Линейные операторы. Умножение и преобразование операторов. Сопряженный оператор, унитарные и эрмитовы операторы. Индуцированные преобразования функций. Примеры линейных операторов.

3. Определение представления группы. Матричные представления. Инвариантные подпространства. Неприводимость. Эквивалентные представления. Неэквивалентные неприводимые представления. Свойства, ортогональности неприводимых представлений. Характеры представлений. Соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений. Приведение представления с использованием характеров групп. Критерий неприводимости.

4. Число неэквивалентных неприводимых представлений. Регулярное представление. Второе соотношение ортогональности для характеров групп. Построение таблицы характеров. Ортогональность базисных функций неприводимых представлений. Прямое произведение двух представлений. Разложение неприводимого представления при сведении к подгруппе. Проекционные операторы. Неприводимые наборы операторов, теорема Вигнера-Эккарта. Представление прямого произведения групп.

5. Симметрия в квантовой механике. Вырождение и классификация по симметрии собственных функций. Правила отбора и матричные элементы. Законы сохранения. Нарушения симметрии при возмущении. Неразличимость частиц. Комплексное сопряжение и обращение времени.

6. Роль симметрии в молекулярных колебаниях. Классификация нормальных мод. Колебательные энергетические уровни и волновые функции. Инфракрасные спектры поглощения и спектры комбинационного рассеяния молекул. Картина смешений и частоты нормальных колебаний.

7. Непрерывные группы. Инфинитизимальные операторы. Группа R2. Группа. R3. Оператор казимира. Двузначные представления. Комплексно-сопряженное представление.

8. Угловой момент и группа R3 приложения к структуре атома. Сложение угловых моментов. Спин. Строение многоэлектронных атомов.

9. Точечные группы и их приложения к теории кристаллического поля. Операции точечной группы и их обозначения. Стереопроекция. Перечисление точечных групп. Структура классов точечных групп. Кристаллографические точечные группы. Неприводимые представления точечных групп. Двузначные представления точечных групп. Обращение времени и магнитные точечные группы. Расщепление атомных уровней в кристаллическом поле.

10. Трансляционная симметрия в кристаллах. Группа трансляций. Электронные состояния в периодическом потенциале. Колебания решетки. Правила, отбора при рассеянии. Пространственные группы.

11. Эвклидова группа Ез. Группа Лоренца L. Группа Лоренца с пространственными отражениями. Трансляции и группа Пуанкаре. Группа Пуанкаре с пространственной инверсией. Группа Пуанкаре с отражением времени. Интерпретация неприводимых представлений группы Пуанкаре. Одночастичные волновые функции и волновые уравнения.

12. Классическая механика частиц. Классическая механика полей. Квантование поля.

13. Группа перестановок. Циклы. Четность перестановки. Классы сопряженных элементов. Тривиальное и антисимметричное представление, симметричные и антисимметричные функции. Таблица характеров неприводимых представлений. Схемы Юнга.

14. Ограничение с группы Jn на подгруппу Jn-1. Базисные векторы неприводимых представлений. Прямое произведение двух представлений. Внешнее произведение двух неприводимых представлений. Ограничение на подгруппу и внешнее произведение. Канонический вид матриц неприводимых представлений.

15. Унитарная группа Un. Неприводимые представления. Последовательность подгрупп Un╝Un-1. Система нумерации базисных векторов. Прямое произведение представлений группы Un.

16. Ограничение представлений с группы Un на ее подгруппу SUn. Частные случаи групп. Характеры унитарных групп. Интегрирование по группе и ортогональность.

17. Неинвариантные группы. Эффект Яна-Теллера и спонтанное нарушение симметрии. Нормальные подгруппы, полупрямые произведения и малые группы. Примеры групп Ли.

18. Дополнительные сведения по теории представлений. Симметризованные произведения представлений. Разложение произведения представлений с помощью подгруппы. Умножение классов сопряженных элементов.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. И.М.Цидильковский. Зонная структура полупроводников. Наука. 1978.

2. JI.Bup, Г.Е.Пикус. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. М., Наука. 1972

3. Е.МЛифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М., Наука. 1978. пар.66-68

4.Теория представлений групп, М.А.Наймарк, ``Наука'', 1976 г.

5.Дж.Эллиот, П.Добер, Симметрия в физике, т.I, II, ``Мир'', 1983 г.

6.В.Хейне, Теория групп в квантовой механике, Издательство иностранной литературы, 1960 г.

7.Classical Groups for Physisits, B.G.Wybourne, A Wiley-Intersience Publication, New York, London, 1974.